KEBEBASAN LINIER

1. KOMBINASI LINEAR

Definisi

Vektor V dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor – vektor v₁, v₂,…,v_n bila wbisa dinyatakan sebagai :

                                w = k₁v₁ + k₂v₂ + … + k_nv_n , dengan k₁,k₂,…,k_n adalah skalar.

TEOREMA

Himpunan semua kombinasi linear dari sembarang himpunan vektor-vektor yang tidak kosong dari V adalah suatu ruang bagian dari V

CONTOH SOAL KOMBINASI LINEAR

Diketahui a = (1, 2), b = (-2, -3), dan c = (1, 3). Apakah c merupakan kombinasi linear dari a dan b?

Jawab:

Misalkan c merupakan kombinasi linear dari a dan b maka dapat ditentukan dengan c = k₁a + k₂b

(1, 3) = k₁(1, 2) + k₂(-2, -3)

(1, 3) = (1k₁, 2k₁) + (-2k₂, -3k₂)

Maka dapat dinyatakan 1 = k₁ – 2k₂ dan 3 = 2k₁ – 3k₂ Sehingga diperoleh pengenyelesaian k₁ = 3 dan k₂ = 1

Jadi c merupakan kombinasi linear dari a dan b, dan dinyatakan dengan c = 3a + b

2. MEMBANGUN (MERENTANG)

Definisi

Himpunan vektor S = {s₁, s₂, ... , s_n} dimana s₁, s₂, ... , s_n Î V disebut membangun jika setiap v Î V, v  merupakan kombinasi linear dari S ,yaitu : v = k₁s₁ + k₂s₂ +…+ k_ns_n, dengan k₁,k₂,…,k_n adalah skalar.

CONTOH SOAL MEMBANGUN

      Vektor-vektor i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) merentang R³.

Jawab :

Misal x = (x₁, x₂, x₃) Є R³ sehingga akan dibuktikan k₁i + k₂j + k₃k = x

Jadi semua vector di R³ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear i, j, k; sehingga i, j, k membangun R³.
 

CONTOH LAIN

●      Polinom-polinom 1, x, x², ... , xⁿ membangun ruang vektor P_n, karena polinom p pada P_n dapat dituliskan sebagai        p = a₀ + a₁ x + a₂ x² +...+ a_n xⁿ

●      Yang merupakan kombinasi linear dari 1, x, x², ... , xⁿ

3. BEBAS DAN BERGANTUNG LINEAR

Definisi

Jika S = {v₁, v₂, v₃, ……………,v_n}adalah himpunan vector sedemikian sehingga, k₁v₁+ k₂v₂ + … + k_nv_n = 0 maka S = {v₁, v₂, v₃,..., v_n} disebut :

1.       Bebas linier apabila scalar-skalar k₁, k₂,…,k_n semuanya nol.

2.       Bergantung linier apabila scalar-skalar k1, k2, k3,…, kn tidak semuanya nol.

CIRI-CIRI BEBAS DAN BERGANTUNG LINEAR

●        Himpunan vector S bebas linier jika system persamaan linier hanya mempunyai penyelesaian trivial (nol).

●        Himpunan vector S bergantung linier jika system persamaan linier mempunyai persamaan non trivial.

●        Vektor S merupakan bebas linear apabila

1.  Matrik tersebut det(S) ≠ 0.

2.  Ketiga vector tersebut mempunyai invers (sehingga dapat dibalik).

BASIS DAN DIMENSI

BASIS DAN DIMENSI

Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan  komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :

Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :

        i.            S bebas linier;

      ii.            S serentang V.

Contoh 1

Misalkan e1 = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e2 = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , en = ( 0, 0, 0, … , 1 ). Dalam contoh pada pembahasan kebebasan linier, kita telah menunjukkan bahwa S = { e1, e2, … , en } adalah himpunan bebas linier dengan Rn. Karena setiap vector v = (v1, v2, … , vn) pada Rn dapat dituliskan sebagai v = v1e1 +  v2e2 + … + vnen, maka S merentang Rn sehingga S  adalah sebuah basis. Basis tersebut dinamakan basis baku untuk Rn.

Contoh 2

Misalkan v1 = ( 1, 2, 1 ), v2 = ( 2, 9, 0 ), dan v3 = ( 3, 3, 4). Perlihatkan bahwa himpunan S = { v1, v2, v3 } adalah basis untuk R3.

Pemecahan. Untuk memperlihatkan bahwa S serentang R3, maka kita harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b1, b2, b3 ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier

b = k1v1 + k2v2 + k3v3

dari vector – vector pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan

( b1, b2, b3 ) = k1 ( 1, 2, 1 ) + k2 ( 2, 9, 0 ) + k3 ( 3, 3, 4 )

atau

( b1, b2, b3 ) = ( k1 + 2k2 + 3k3, 2k1 + 9k2 + 3k3, k1 + 4k3 )

atau

k1 + 2k2 + 3k3               = b1

2k1 + 9k2 + 3k3             = b2

k1            + 4k3             = b3                                               (1.1)

Jadi, untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus perlihatkan bahwa system (1.1) mempunyai pemecahan semua pilihan b = (b1, b2, b3 ). Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus perlihatkan bahwa satu – satunya pemecahan dari

k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0                                                   (1.2)

adalah k1 = k2 = k3 = 0

seperti sebelumnya, jika (1.2) dinyatakan dalam komponen – komponennya, maka pembuktian bebas linier akan direduksi menjadi pembuktian bahwa system tersebut  homogen

k1 + 2k2 + 3k3               = 0

2k1 + 9k2 + 3k3             = 0

k1            + 4k3             = 0                                           (1.3)

hanya mempunyai pemecahan trivial. Perhatikan bahwa system (1.1) dan system (1.3) mempunyai matriks koefisien yang sama. Jadi, menurut bagian – bagian (a), (b), (d) dari Teorema 15 pada bagian  Hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan, kita dapat secara serentak membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R3 dengan memperlihatakan bahwa matriks koefisien

Pada system (1.1) dan system (1.3) dapat dibalik. Karena

maka jelaslah dari Teorema 7 pada bagian Sifat-Sifat Fungsi Determinan bahwa A dapat dibalik. Jadi, S adalah sebuah basis untuk R3.

Contoh 3

Himpunan S = { 1, x, x2, … , xn } merupakan basis untuk ruang vector Pn yang diperkenalkan dalam contoh 13 pada bagian Subruang. Dari contoh 18, vector – vector pada S merentang Pn. Untuk melihat bahwa S bebas linier, anggaplah bahwa suatu kombinasi linier dari vector – vector S adalah vector nol, yakni

c0 + c1x + … + cnxn = 0 (untuk semua x)                                              (1.4)

Kita harus perlihatkan bahwa c0 = c1 = … = cn = 0. Dari aljabar kita ketahui bahwa polinom taknol berderajat n mempunyai paling banyak n akar yang berbeda. Karena (1.4) memenuhi untuk semua x, maka setiap nilai x adalah sebuah akar dari ruas kiri, hal ini berarti bahwa c1 = c2 = … = cn = 0; kalau tidak, maka c0 + c1x + … cnxn dapat mempunyai paling banyak n akar. Maka himpunan S adalah himpunan bebas linier.

Basis S dalam contoh ini dinamakan basis baku untuk Pn.

Contoh 3

Andaikan ruang V= {u, v, w, s}, di mana:

. Cari basis dan dimensi dari ruang V!

Solusi : (Menggunakan matriks)

Basis dari V={(-1, 1 , 1), (0, -1, 3)}

Dimensi V = 2. 

DIAGONALISASI

Masalah Diagonalisasi. Diberikan sebuah operator linier T : V → V pada sebuah ruang vector berdimensi berhingga, apakah terdapat sebuah basis untuk V terhadap mana matriks T diagonal?

     Jika A adalah matriks untuk T : V→ V yang bertalian dengan beberapa basis sembarang, maka soal ini ekivalen dengan menanyakan apakah terdapat perubahan basis sehingga matriks baru untuk T diagonal. Menurut teorema 8 dalam bagian 5.5, matriks baru untuk T akan sama dengan P^-1 AP dimana P adalah matriks transisi yang sesuai. Jadi, kita sampai kepada perumusan matriks berikut yang berbentuk masalah diagonalisasi.

Bentuk matriks dari masalah diagonalisasi. Diketahui matriks kuadrat A, apakah terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P^-1 AP diagonal?

Masalah ini menyarankan definisi – definisi berikut.

Definisi.  Matriks kuadrat A dinamakan dapat didiagonalisasi ( diagonalizable) jika terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P^-1 AP diagonal; matriks P dikatakanmendiagonalisasi A.

      Teorema berikut adalah alat dasar dalam pengkajian diagonalisasi; buktinya akan mengungkapkan bagaimana mendiagonalkan matriks.

Teorema 2. Jika A adalah matriks n × n, maka pernyataan – pernyataan berikut ekivalen satu sama lain.

(a)    A dapat didiagonalisasi.

(b)   A mempunyai n vector eigen bebas linier

Bukti (a) → (b). karena A dianggap dapat didiagonalisasi, maka terdapat matriks yang dapat di balik

P= 

Sehingga P^-1  AP diagonal, katakanlah P^-1 AP = D, dimana

D= 

Maka, AP = PD ; yakni

AP =  (6.4)

Jika sekarang kita misalkan p₁, p₂, . . . , p_n menyatakan vector – vector kolom P, maka bentuk (6.4) kolom – kolom AP yang berurutan adalah λ₁P₁,λ₂P₂, . . . , λ_nP_n . akan tetapi, dari contoh 18 bagian 1.4 kolom – kolom AP yang berurutan adalah Ap₁, Ap₂, . . . ,Ap_n. jadi, harus kita memperoleh

Ap₁ = λ₁P₁, AP₂ =  λ₂P_{2, . . . ,} Ap_n = λ_nP_n          (6.5)

Karena P dapat dibalik, maka vector – vector kolomnya semuanya tak nol; jadi menurut (6.5), λ_1, λ_2, . . . , λ_n adalah nilai – nilai eigen A, dan p₁, p₂ , . . . , p_n adalah vector – vector eigen yang bersesuaian. Karena P dapat dibalik, maka teorema 15 dalam bagian 6.4 diperoleh bahwa p₁, p₂ , . . . , p_n bebas linier. Jadi, A mempunyai n vector eigen bebas linier.

(b)   → (a) anggaplah bahwa A mempunyai n vector eigen bebas linier, maka p₁, p₂ , . . . , p_n dengan nilai eigen yang bersesuaian λ₁, λ₂, . . . , λ_n dan misalkan

P= 

Adalah mastriks yang vector – vector kolomnya adalah p₁, p₂ , . . . , p_n. menurut contoh 17 pada bagian 1.4, kolom – kolom dari hasil kali AP adalah

Ap_1, Ap_2, . . . , Ap_n

Tetapi

Ap₁ = λ₁P₁, AP₂ =  λ₂P_{2, . . . ,} Ap_n = λ_nP_n

Sehingga

AP= =  =PD   (6.6)

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Persamaan dan Polinomial Karakteristik 

Persamaan karakteristik dari matriks A adalah persamaan dengan variabel λ yang digunakan untuk perhitungan nilai dan vektor Eigen. Polinomial karakteristik (${\displaystyle f(\lambda )}$) adalah fungsi dengan variabel ${\displaystyle \lambda }$ yang membentuk persamaan karakteristik. Persamaan karakteristik bisa diperoleh lewat cara berikut.^[1]

${\displaystyle Ax=\lambda x}$

${\displaystyle Ax-\lambda x=0}$

Diketahui sifat identitas matriks di mana ${\displaystyle vI=v}$, maka

${\displaystyle (A-\lambda )x=0}$

${\displaystyle (A-\lambda I)x=0}$

Sehingga diperoleh persamaan karakteristik

${\displaystyle det(A-\lambda I)=0}$

Ket: ${\displaystyle A}$ = matriks n x n, ${\displaystyle \lambda }$ = nilai Eigen (bernilai skalar), ${\displaystyle I}$ = matriks identitas, dan ${\displaystyle x}$ = vektor Eigen (vektor kolom n x 1)

Syarat-syarat : 

Nilai dan vektor Eigen sendiri memiliki beberapa syarat yang harus dipenuhi, yaitu:

• ${\displaystyle (A-\lambda I)}$ tidak memiliki invers atau ${\displaystyle det(A-\lambda I)=0}$
• ${\displaystyle x\neq 0}$

Bukti 

${\displaystyle x=Ix}$

Asumsikan bahwa A memiliki invers, maka berlaku ${\displaystyle v}$⁻¹${\displaystyle v=I}$.

${\displaystyle x=((A-\lambda I)}$^-1 ${\displaystyle (A-\lambda I))x}$

${\displaystyle x=(A-\lambda I)}$^-1 ${\displaystyle ((A-\lambda I)x)}$

${\displaystyle x=(A-\lambda I)}$^-1 ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle x=0}$

Dari perhitungan di atas, diperoleh ${\displaystyle x=0}$ yang bertentangan dengan salah satu syarat. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kedua syarat saling mempengaruhi dan tidak boleh dilanggar.

Perhitungan Nilai dan Vektor Eigen

Perhitungan nilai dan vektor Eigen tetap mengguankan perhitungan matriks dasar, yaitu penjumlahan 

matriks dan perkalian matriks. Perhitungan dimulai dengan mencari nilai Eigen, kemudian dengan nilai Eigen diperoleh (dapat berjumlah lebih dari 1 nilai) akan dihitung vektor Eigen untuk masing - masing nilai yang memenuhi persamaan.

Contoh: 

Misalkan diketahui suatu matriks A berukuran 3 x 3 dengan nilai seperti di bawah ini.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}}$

Untuk mencari nilai Eigen akan digunakan polinomial karakteristik dan persamaan karakteristik dari matriks A. Pertama - tama akan dihitung polinomial karakteristik dari matriks A:

${\displaystyle f(\lambda )=det(A-\lambda I)}$

${\displaystyle f(\lambda )=det\left({\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}-\lambda \cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\right)=det{\begin{pmatrix}-\lambda &1&0\\0&-\lambda &1\\4&-17&8-\lambda \\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle f(\lambda )=-\lambda \cdot {\begin{bmatrix}-\lambda &1\\-17&8-\lambda \\\end{bmatrix}}-1\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\4&8-\lambda \\\end{bmatrix}}+0\cdot {\begin{bmatrix}0&-\lambda \\4&-17\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle f(\lambda )=-\lambda (-\lambda (8-\lambda )-1(-17))-(0(8-\lambda )-4(1))=-\lambda (-8\lambda +\lambda ^{2}+17)-(-4)=8\lambda ^{2}-\lambda ^{3}-17\lambda +4}$

Kemudian nilai Eigen dapat dihitung lewat persamaan karakteristik:

${\displaystyle f(\lambda )=0}$

${\displaystyle -\lambda ^{3}+8\lambda ^{2}-17\lambda +4=0}$

${\displaystyle \lambda ^{3}-8\lambda ^{2}+17\lambda -4=0}$

(Persamaan karakteristik dapat difaktorkan menggunakan teorema sisa atau teknik pemfaktoran polinomial lainnya)

${\displaystyle (\lambda -4)(\lambda ^{2}-4\lambda +1)=0}$

${\displaystyle \lambda _{1}=4,\lambda _{2}=2+{\sqrt {3}},\lambda _{3}=2-{\sqrt {3}}}$

Dengan melakukan substitusi nilai Eigen ke dalam persamaan ${\displaystyle (A-\lambda I)x=0}$, maka akan diperoleh suatu persamaan baru.

${\displaystyle (A-\lambda _{1}I)x=0}$

${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-4&1&0\\0&-4&1\\4&-17&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}}$

Vektor Eigen untuk masing - masing nilai Eigen kemudian dapat ditentukan dengan melakukan operasi baris elementer atau teknik eliminasi sistem persamaan linier lainnya. Sehingga akan diperoleh vektor Eigen untuk ${\displaystyle \lambda =4}$ adalah

${\displaystyle {\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}0,0625\\0,25\\1\\\end{pmatrix}}}$