NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Persamaan dan Polinomial Karakteristik 

Persamaan karakteristik dari matriks A adalah persamaan dengan variabel λ yang digunakan untuk perhitungan nilai dan vektor Eigen. Polinomial karakteristik (${\displaystyle f(\lambda )}$) adalah fungsi dengan variabel ${\displaystyle \lambda }$ yang membentuk persamaan karakteristik. Persamaan karakteristik bisa diperoleh lewat cara berikut.^[1]

${\displaystyle Ax=\lambda x}$

${\displaystyle Ax-\lambda x=0}$

Diketahui sifat identitas matriks di mana ${\displaystyle vI=v}$, maka

${\displaystyle (A-\lambda )x=0}$

${\displaystyle (A-\lambda I)x=0}$

Sehingga diperoleh persamaan karakteristik

${\displaystyle det(A-\lambda I)=0}$

Ket: ${\displaystyle A}$ = matriks n x n, ${\displaystyle \lambda }$ = nilai Eigen (bernilai skalar), ${\displaystyle I}$ = matriks identitas, dan ${\displaystyle x}$ = vektor Eigen (vektor kolom n x 1)

Syarat-syarat : 

Nilai dan vektor Eigen sendiri memiliki beberapa syarat yang harus dipenuhi, yaitu:

• ${\displaystyle (A-\lambda I)}$ tidak memiliki invers atau ${\displaystyle det(A-\lambda I)=0}$
• ${\displaystyle x\neq 0}$

Bukti 

${\displaystyle x=Ix}$

Asumsikan bahwa A memiliki invers, maka berlaku ${\displaystyle v}$⁻¹${\displaystyle v=I}$.

${\displaystyle x=((A-\lambda I)}$^-1 ${\displaystyle (A-\lambda I))x}$

${\displaystyle x=(A-\lambda I)}$^-1 ${\displaystyle ((A-\lambda I)x)}$

${\displaystyle x=(A-\lambda I)}$^-1 ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle x=0}$

Dari perhitungan di atas, diperoleh ${\displaystyle x=0}$ yang bertentangan dengan salah satu syarat. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kedua syarat saling mempengaruhi dan tidak boleh dilanggar.

Perhitungan Nilai dan Vektor Eigen

Perhitungan nilai dan vektor Eigen tetap mengguankan perhitungan matriks dasar, yaitu penjumlahan 

matriks dan perkalian matriks. Perhitungan dimulai dengan mencari nilai Eigen, kemudian dengan nilai Eigen diperoleh (dapat berjumlah lebih dari 1 nilai) akan dihitung vektor Eigen untuk masing - masing nilai yang memenuhi persamaan.

Contoh: 

Misalkan diketahui suatu matriks A berukuran 3 x 3 dengan nilai seperti di bawah ini.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}}$

Untuk mencari nilai Eigen akan digunakan polinomial karakteristik dan persamaan karakteristik dari matriks A. Pertama - tama akan dihitung polinomial karakteristik dari matriks A:

${\displaystyle f(\lambda )=det(A-\lambda I)}$

${\displaystyle f(\lambda )=det\left({\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}-\lambda \cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\right)=det{\begin{pmatrix}-\lambda &1&0\\0&-\lambda &1\\4&-17&8-\lambda \\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle f(\lambda )=-\lambda \cdot {\begin{bmatrix}-\lambda &1\\-17&8-\lambda \\\end{bmatrix}}-1\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\4&8-\lambda \\\end{bmatrix}}+0\cdot {\begin{bmatrix}0&-\lambda \\4&-17\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle f(\lambda )=-\lambda (-\lambda (8-\lambda )-1(-17))-(0(8-\lambda )-4(1))=-\lambda (-8\lambda +\lambda ^{2}+17)-(-4)=8\lambda ^{2}-\lambda ^{3}-17\lambda +4}$

Kemudian nilai Eigen dapat dihitung lewat persamaan karakteristik:

${\displaystyle f(\lambda )=0}$

${\displaystyle -\lambda ^{3}+8\lambda ^{2}-17\lambda +4=0}$

${\displaystyle \lambda ^{3}-8\lambda ^{2}+17\lambda -4=0}$

(Persamaan karakteristik dapat difaktorkan menggunakan teorema sisa atau teknik pemfaktoran polinomial lainnya)

${\displaystyle (\lambda -4)(\lambda ^{2}-4\lambda +1)=0}$

${\displaystyle \lambda _{1}=4,\lambda _{2}=2+{\sqrt {3}},\lambda _{3}=2-{\sqrt {3}}}$

Dengan melakukan substitusi nilai Eigen ke dalam persamaan ${\displaystyle (A-\lambda I)x=0}$, maka akan diperoleh suatu persamaan baru.

${\displaystyle (A-\lambda _{1}I)x=0}$

${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-4&1&0\\0&-4&1\\4&-17&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}}$

Vektor Eigen untuk masing - masing nilai Eigen kemudian dapat ditentukan dengan melakukan operasi baris elementer atau teknik eliminasi sistem persamaan linier lainnya. Sehingga akan diperoleh vektor Eigen untuk ${\displaystyle \lambda =4}$ adalah

${\displaystyle {\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}0,0625\\0,25\\1\\\end{pmatrix}}}$

PERSAMAAN LINIER

Sistem Persamaan Linear Menggunakan Aturan Cramer

Biasanya kita menggunakan Metode Eliminasi atau Metode Substitusi. Tapi saya akan mencoba dengan cara yang sedikit berbeda yaitu dengan memanfaatkan Determinan Matriks, metode ini dinamakann Aturan Cramer. Metode ini untuk menyelesaikan persamaan seperti diatas atau lebih umum mencari solusi dari n persamaan dan n bilangan tak diketahui. Rumus yang akan digunakan pada Aturan Cramer ini dijamin pada teorema dibawah ini.

Teorema :

Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A)  0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang uniq. Pemecahan ini adalah

x1 = , x2 = , …, xn = 

dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks.

B =

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Carilah solusi dari persamaan dibawah ini menggunakan aturan cramer.

x1 + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 – 2x2 + 3x3 = 8

ubah terlebih dahulu kedalam bentuk matriks

A = 

Karena bilangan takdiketahui atau solusinya ada 3, berarti kita bentuk matriks A1, A2 dan A3. Dengan matriks A1 dibentuk dari matriks A dengan mengganti entri-entri kolom pertama pada matriks A dengan nilai-nilai pada sebelah kanan sama dengan ( = ) di persamaan diatas yaitu . Kemudian untuk membentuk matriks A2, kita mengganti entri-entri kolom kedua matriks A dengan , begitu juga untuk membentuk matriks A3 yaitu mengganti entri-entri pada kolom ketiga. Sehingga diperoleh A1, A2 dan A3 seperti dibawah ini.

A1 = , A2 = , A3 = .

Untuk menghitung determinan pada matriks A, A1, A2 dan A3 dapat menghitung determinan menggunakan kofaktor.

det(A) =

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 1 – 0 + 2

= 1[4(3)-6(-2)] – 0[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(-2)-4(-1)]

= 24 – 0 – 20

= 44

det(A1) = 

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 6 – 0 + 2

= 6[4(3)-6(-2)] – 0[30(3)-6(8)] + 2[30(-2)-4(8)]

= 144 – 0 – 184

= -40

det(A2) = 

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 1 – 6 + 2

= 1[30(3)-6(8)] – 6[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(8)-30(-1)]

= 42 + 18 + 12

= 72

det(A3) = 

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 1 – 0 + 6

= 1[4(8)-30(-2)] – 0[-3(8)-30(-1)] + 6[-3(-2)-4(-1)]

= 92 – 0 + 60

= 152

Berdasarkan Teorema diatas, maka diperoleh :

x1 =  =  = 

x2 =  =  = 

x3 =  =  =