Sistem Persamaan Linear Menggunakan Aturan Cramer

Biasanya kita menggunakan Metode Eliminasi atau Metode Substitusi. Tapi saya akan mencoba dengan cara yang sedikit berbeda yaitu dengan memanfaatkan Determinan Matriks, metode ini dinamakann Aturan Cramer. Metode ini untuk menyelesaikan persamaan seperti diatas atau lebih umum mencari solusi dari n persamaan dan n bilangan tak diketahui. Rumus yang akan digunakan pada Aturan Cramer ini dijamin pada teorema dibawah ini.

Teorema :

Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A) $\neq$ 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang uniq. Pemecahan ini adalah

x1 = $\frac{det(A_1)}{det(A)}$ , x2 = $\frac{det(A_2)}{det(A)}$ , …, xn = $\frac{det(A_n)}{det(A)}$

dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks.

B = $\left [ \begin{matrix}b_1\\ b_2\\ .\\ .\\ .\\ b_3 \end{matrix} \right ]$

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Carilah solusi dari persamaan dibawah ini menggunakan aturan cramer.

x1 + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 – 2x2 + 3x3 = 8

ubah terlebih dahulu kedalam bentuk matriks

A = $\left [ \begin{array}{rrr} 1& 0& 2\\ -3& 4& 6\\ -1& -2& 3\\ \end{array} \right ]$

Karena bilangan takdiketahui atau solusinya ada 3, berarti kita bentuk matriks A1, A2 dan A3. Dengan matriks A1 dibentuk dari matriks A dengan mengganti entri-entri kolom pertama pada matriks A dengan nilai-nilai pada sebelah kanan sama dengan ( = ) di persamaan diatas yaitu $\left [ \begin{array}{rrr} 6\\ 30\\ 8\\ \end{array} \right ]$ . Kemudian untuk membentuk matriks A2, kita mengganti entri-entri kolom kedua matriks A dengan $\left [ \begin{array}{rrr} 6\\ 30\\ 8\\ \end{array} \right ]$ , begitu juga untuk membentuk matriks A3 yaitu mengganti entri-entri pada kolom ketiga. Sehingga diperoleh A1, A2 dan A3 seperti dibawah ini.

A1 = $\left [ \begin{array}{rrr} 6& 0& 2\\ 30& 4& 6\\ 8& -2& 3\\ \end{array} \right ]$ , A2 = $\left [ \begin{array}{rrr} 1& 6& 2\\ -3& 30& 6\\ 8& -2& 3\\ \end{array} \right ]$ , A3 = $\left [ \begin{array}{rrr} 1& 0& 6\\ -3& 4& 30\\ -1& -2& 8\\ \end{array} \right ]$ .

Untuk menghitung determinan pada matriks A, A1, A2 dan A3 dapat menghitung determinan menggunakan kofaktor.

det(A) = $\left [ \begin{array}{rrr} 1& 0& 2\\ -3& 4& 6\\ -1& -2& 3\\ \end{array} \right ]$

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 1 $\left | \begin{array}{rr} 4& 6\\ -2& 3 \end{array} \right |$ – 0 $\left | \begin{array}{rr} -3& 6\\ -1& 3 \end{array} \right |$ + 2 $\left | \begin{array}{rr} -3& 4\\ -1& -2 \end{array} \right |$

= 1[4(3)-6(-2)] – 0[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(-2)-4(-1)]

= 24 – 0 – 20

= 44

det(A1) = $\left [ \begin{array}{rrr} 6& 0& 2\\ 30& 4& 6\\ 8& -2& 3\\ \end{array} \right ]$

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 6 $\left | \begin{array}{rr} 4& 6\\ -2& 3 \end{array} \right |$ – 0 $\left | \begin{array}{rr} 30& 6\\ 8& 3 \end{array} \right |$ + 2 $\left | \begin{array}{rr} 30& 4\\ 8& -2 \end{array} \right |$

= 6[4(3)-6(-2)] – 0[30(3)-6(8)] + 2[30(-2)-4(8)]

= 144 – 0 – 184

= -40

det(A2) = $\left [ \begin{array}{rrr} 1& 6& 2\\ -3& 30& 6\\ -1& 8& 3\\ \end{array} \right ]$

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 1 $\left | \begin{array}{rr} 30& 6\\ 8& 3 \end{array} \right |$ – 6 $\left | \begin{array}{rr} -3& 6\\ -1& 3 \end{array} \right |$ + 2 $\left | \begin{array}{rr} -3& 30\\ -1& 8 \end{array} \right |$

= 1[30(3)-6(8)] – 6[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(8)-30(-1)]

= 42 + 18 + 12

= 72

det(A3) = $\left [ \begin{array}{rrr} 1& 0& 6\\ -3& 4& 30\\ -1& -2& 8\\ \end{array} \right ]$

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 1 $\left | \begin{array}{rr} 4& 30\\ -2& 8 \end{array} \right |$ – 0 $\left | \begin{array}{rr} -3& 30\\ -1& 8 \end{array} \right |$ + 6 $\left | \begin{array}{rr} -3& 4\\ -1& -2 \end{array} \right |$

= 1[4(8)-30(-2)] – 0[-3(8)-30(-1)] + 6[-3(-2)-4(-1)]

= 92 – 0 + 60

= 152

Berdasarkan Teorema diatas, maka diperoleh :