Naomi Artama Silitonga

Jumat, 21 Desember 2018

RUANG VEKTOR

Sebelum memasuki materi utama, berikut ini adalah kompetensi dasar yang seharusnya sudah dikuasai pembaca:
1. Memahami materi himpunan, fungsi, polinomial, dan matriks (sangat ditekankan)
2. Memahami prinsip logika matematika (konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, ekuivalensi).
3. Dapat mereduksi matriks menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE).

Ruang Vektor Tujuan:

1. Mengingat kembali persamaan garis dan bidang di ruang.

2. Memahami aksioma ruang vektor, kombinasi linier dan ruang bagian.

3. Mengingat kembali pengertian bebas dan bergantung linier, basis dan dimensi.

Arti geometris dari determinan:

Jika A matriks 2x2, |det(A)| = area dari jajaran genjang dibentuk oleh 2 vektor. Jika A matriks 3x3, |det(A)| = volume dari parallepipedum dibentuk oleh 3 vektor.

Persamaan garis dan bidang di ruang Garis di ruang dimensi 2:

persamaannya adalah y –a = m (x – b) (jadi diperlukan kemiringan m dan titik yang dilalui (a,b))

Bidang di ruang dimensi 3: Diperlukan inklinasi (kemiringan) dan titik yang dilalui. Untuk menyatakan inklinasi adalah satu vektor yang tegak lurus terhadap bidang.

Definisi Ruang Vektor (Vector Space)

Anggap $V$ adalah sembarang himpunan tak kosong dari objek di mana operasipenjumlahan dan operasi perkalian skalar didefinisikan. Penjumlahan yang dimaksud adalah aturan yang menghubungkan setiap pasangan objek $\overline{u} ,\overline{v}\in V$ dengan suatu objek $\overline{u} + \overline{v}$ , yang disebut sebagai jumlah dari $\overline{u}$ dan $\overline{v}$ . Sedangkan perkalian skalar adalah aturan yang menghubungkan setiap skalar $k$ dan objek $\overline{u} \in V$ dengan objek $k\overline{u}$ . Jika 10 aksioma berikut terpenuhi oleh semua objek $\overline{u} ,\overline{v} , \overline{w} \in V$ dan skalar $k$ dan $m$ , maka $V$ disebut sebagai ruang vektor dan semua objek di dalamnya disebut vektor.

Aksioma 1:
Jika $\overline{u}$ dan $\overline{v}$ adalah objek dalam $V$ , maka $\overline{u} + \overline{v}$ juga berada dalam $V$ .
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat ketertutupan operasipenjumlahan.

Aksioma 2:
$\overline{u} + \overline{v} = \overline{v} + \overline{u}$
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat komutatifpenjumlahan.

Aksioma 3:
$\overline{u} + (\overline{v} + \overline{w}) = (\overline{u} + \overline{v}) + \overline{w}$
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat asosiatif penjumlahan.

Aksioma 4:
Ada objek $\overline{0}$ dalam $V$ yang disebut objek nol (selanjutnya vektor nol), sedemikian sehingga berlaku

$\overline{0}+ \overline{u} = \overline{u} +\overline{0} = \overline{u}$
untuk setiap $u \in V$ .
Catatan 1: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai bentuk identitas penjumlahan.
Catatan 2: Objek $\overline{0}$ yang disebut sebagai “identitas” tidak selalu berarti vektor nol $\overline{0} = (0,0,\cdots, 0)$ . Hal ini tergantung dari definisi operasi yang diberikan. Jika diberikanhimpunan $A$ , maka untuk $a \in A$ , haruslah berlaku
$a * \overline{0} = a$
Prinsip seperti ini sebenarnya sama dengan prinsip pada identitas penjumlahan/perkalian bilangan real, yaitu untuk $a \in \mathbb{R}$ ,
$a + 0 = a$ dan $a \times 1 = a$
Untuk itu, $0$ disebut identitas penjumlahan dan $1$ disebut identitas perkalian padabilangan real.

Aksioma 5:
Untuk setiap $\overline{u} \in V$ , ada objek $-\overline{u} \in V$ yang disebut negatif dari $\overline{u}$ sedemikian sehingga berlaku
$\overline{u} + (-\overline{u}) = (-\overline{u}) + \overline{u} = \overline{0}$
Catatan 1: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai invers penjumlahan.
Catatan 2: $-\overline{u}$ juga tidak selalu sama dengan $-\overline{u} = (-u_1, -u_2, \cdots, -u_k)$ . Hal ini tergantung dari operasi yang diberikan. Suatu vektor dikatakan invers dari vektor yang lain jika keduanya dioperasikan menghasilkan identitas. Untuk itu, identitasnya harus terlebih dahulu diketahui.

Aksioma 6:
Jika $k$ adalah sembarang skalar dan $\overline{u}$ adalah sembarang objek dalam $V$ , maka berlaku $k\overline{u} \in V$ .
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat ketertutupan operasiperkalian.

Aksioma 7:
$k(\overline{u} + \overline{v}) = k\overline{u} + k\overline{v}$
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Aksioma 8:
$(k + m) \overline{u} = k\overline{u} + m\overline{u}$
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Aksioma 9:
$k(m\overline{u}) = (km)\overline{u}$
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat asosiatif perkalian.

Aksioma 10:
$1\overline{u} = \overline{u}$
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai bentuk identitas perkalian.

Perlu diperhatikan bahwa skalar yang dimaksud di sini adalah BILANGAN (bukan vektor). Umumnya suatu kajian dibatasi hanya sampai bilangan real $\mathbb{R}$ saja, tetapi memungkinkan untuk diperluas sampai bilangan kompleks. Bilangan kompleks $\mathbb{C}$ adalah gabungan dari bilangan real dan bilangan imajiner (khayal). Bila dalam suatu kasus, tidak ada keterangan yang menyatakan jenis bilangan pada suatu skalar, maka skalar yang dimaksud itu adalah bilangan real.

Teorema Ruang Vektor

Jika $V$ adalah suatu ruang vektor, $\overline{u}$ adalah vektor dalam $V$ , dan $k$ sembarang skalar, maka

1. $\overline{0}\overline{u} = \overline{u}$

2. $k\overline{0}=\overline{0}$

3. $(-1)\overline{u} = -\overline{u}$

4. Jika $k\overline{u} = \overline{0}$ , maka $k = \overline{0}$ atau $\overline{u} = \overline{0}$

Definisi Subruang (Subspace) atau Ruang Bagian

Suatu himpunan bagian $W$ dari ruang vektor $V$ disebut subruang/ruang bagian dari $V$ jika $W$ sendiri adalah ruang vektor di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada $V$ .

Teorema 1: Subruang

Jika $Q$ adalah subruang dari $P$ , maka $Q$ harus memenuhi 2 syarat berikut.

a) Jika $A, B \in Q$ , maka $A + B \in Q$

b) Jika $k$ sembarang skalar dan $A$ vektor sembarang dalam $Q$ , maka $kA \in Q$

Teorema 2: Subruang

Jika $A\overline{x} = \overline{0}$ adalah suatu sistem linear homogen dari $m$ persamaan dan $n$ variabel, maka himpunan vektor penyelesaiannya adalah suatu subruang dari $\mathbb{R}^n$ .

Catatan: Sistem linear homogen adalah sistem persamaan linear dengan konstanta 0 (nol), misalnya

$\begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ x - 4y = 0 \end{cases}$

Notasi $\mathbb{R}^n$ (dibaca: R n, bukan R pangkat n) menyatakan ruang dimensi $n$ .

Definisi Kombinasi Linear

Suatu vektor $\overline{w}$ disebut kombinasi linear dari vektor-vektor $\overline{v}_1, \overline{v}_2,\cdots, \overline{v}_r$ jika dapat dinyatakan dalam bentuk
$\overline{w} = k_1\overline{v}_1 + k_2\overline{v}_2 + \cdots + k_r\overline{v}_r$
dengan $k_1,k_2,\cdots, k_r$ sembarang skalar.

Teorema: Hubungan Subruang dan Kombinasi Linear

Jika $\overline{v}_1,\overline{v}_2,\cdots, \overline{v}_r$ adalah vektor-vektor dalam ruang vektor $V$ , maka
a) Himpunan $W$ yang anggotanya merupakan vektor kombinasi linear dari $\overline{v}_1,\overline{v}_2,\cdots, \overline{v}_r$ merupakan subruang dari $V$ .
b) $W$ adalah subruang terkecil dari $V$ yang berisi $\overline{v}_1,\overline{v}_2,\cdots, \overline{v}_r$ dalam pengertian bahwa setiap subruang lain dari $V$ yang berisi $\overline{v}_1,\overline{v}_2,\cdots, \overline{v}_r$ pasti mengandung $W$ .

Definisi Ruang Terentang (Spanning Space)

Jika $S = \{\overline{v}_1,\overline{v}_2,\cdots, \overline{v}_r\}$ adalah himpunan vektor dalam ruang vektor $V$ , maka subruang $W$ dari $V$ yang mengandung semua kombinasi linear dari vektor dalam $S$ disebut ruang terentang oleh $\overline{v}_1,\overline{v}_2,\cdots, \overline{v}_r$ dan kita katakan bahwa $\overline{v}_1, \overline{v}_2,\cdots, \overline{v}_r$ adalah rentang $W$ . Untuk menunjukkan bahwa $W$ adalah ruang terentang oleh vektor dalam himpunan $S$ , kita tuliskan
$W = \text{rent}(S)$
atau
$W = \text{rent}\{\overline{v_1}, \overline{v}_2,\cdots, \overline{v}_r\}$
Notasi ini hanya berlaku dalam bahasa Indonesia, sedangkan secara luas (internasional) , notasi rentang disimbolkan dengan
$W = \text{span}(S)$
Untuk itu, notasi terakhir ini yang akan dipakai pada uraian selanjutnya.
Catatan: Merentang (spanning) dapat diartikan memanjang, melebar, meluas, dan sebagainya.

Teorema Rentang (Spanning)

Jika $S = \{\overline{v}_1,\overline{v}_2, \cdots, \overline{v}_r\}$ dan $S' = \{\overline{w}_1, \overline{w}_1, \cdots, \overline{w}_r\}$ adalah dua himpunan vektor dalam ruang vektor $V$ , maka
$\text{span}\{\overline{v}_1,\overline{v}_2,\cdots, \overline{v}_r\} = \text{span}\{\overline{w}_1,\overline{w}_2,\cdots, \overline{w}_r\}$
jika dan hanya jika setiap vektor dalam $S$ adalah kombinasi linear dari vektor dalam $S'$ , begitu juga sebaliknya.

Definisi Kebebasan Linear

Jika $S = \{\overline{v}_1,\overline{v}_2,\cdots, \overline{v}_r\}$ adalah himpunan vektor tak kosong, maka persamaan vektor
$k_1\overline{v}_1+k_2\overline{v}_2 + \cdots + k_r\overline{v}_r = 0$
mempunyai setidaknya satu penyelesaian, yaitu
$k_1 = k_2 = \cdots = k_r = 0$
Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka $S$ disebut himpunan yang bebas linear (linearly independent). Jika ada penyelesaian lain, maka $S$ disebut himpunan yang tidak bebas linear (atau diistilahkan, bergantung linear (linearly dependent)).

Salah satu istilah baru dari definisi ini adalah penyelesaian trivial (trivial solution), yaitu penyelesaian dari suatu sistem linear yang nilai-nilai variabelnya adalah 0.

Teorema 1: Kebebasan Linear

Suatu himpunan dengan dua atau lebih vektor disebut
a) tak bebas secara linear jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor dalam $S$ dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor lainnya dalam $S$ .
b) bebas secara linear jika dan hanya jika tidak ada vektor dalam $S$ yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor lainnya dalam $S$ .

Teorema 2: Kebebasan Linear

a) Suatu himpunan vektor berhingga yang berisi vektor nol tak bebas linear.
b) Suatu himpunan dengan tepat 2 vektor dikatakan bebas linear jika dan hanya jika vektor yang satu bukan merupakan penggandaan skalar dari vektor yang lain.

Intepretasi Geometrik dari Kebebasan Linear

Dalam $\mathbb{R}^2$ atau $\mathbb{R}^3$ (ruang dimensi 2 atau ruang dimensi 3), kebebasan linear dapat dijelaskan dengan konsep geometri.

Pada $\mathbb{R}^2$ maupun $\mathbb{R}^3$ , suatu himpunan dua vektor bebas linear jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada garis yang sama bila kedua titik pangkalnya ditempatkan pada titik asal (titik (0,0)),

sedangkan pada $\mathbb{R}^3$ , suatu himpunan tiga vektor bebas linear jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang sama bila ketiga titik pangkalnya ditempatkan di titik asal.

Teorema 3: Kebebasan Linear

Misalkan $S = \{\overline{v}_1,\overline{v}_2, \cdots, \overline{v}_r\}$ adalah himpunan vektor dalam $\mathbb{R}^n$ . Jika $r > n$ , maka $S$ tidak bebas linear.

Definisi Basis dalam Ruang Vektor

Jika $V$ adalah sembarang ruang vektor dan $S = \{\overline{v}_1,\overline{v}_2,\cdots, \overline{v}_r\}$ adalah himpunanvektor dalam $V$ , maka $S$ disebut basis untuk $V$ jika dua syarat berikut terpenuhi.
a) $S$ bebas linear,
b) $S$ merentang dalam $V$ .

Teorema Basis dalam Ruang Vektor

Jika $S = \{\overline{v}_1,\overline{v}_2, \cdots, \overline{v}_r\}$ adalah suatu basis untuk ruang vektor $V$ , maka setiap vektor $\overline{v}$ dalam $V$ dapat dinyatakan dalam bentuk $c_1\overline{v}_1 + c_2\overline{v}_2 + \cdots + c_r\overline{v}_r = \overline{0}$
hanya dalam satu cara.

Definisi 1: Dimensi

Suatu ruang vektor tak nol $V$ disebut berdimensi terhingga jika $V$ berisi suatuhimpunan vektor terhingga $\{\overline{v}_1,\overline{v}_2, \cdots, \overline{v}_r\}$ yang membentuk suatu basis. Jika tidak adahimpunan yang demikian, maka $V$ disebut berdimensi tak terhingga. Selain itu, didefinisikan ruang vektor nol sebagai dimensi terhingga.

Teorema 1: Dimensi

Jika $V$ adalah ruang vektor berdimensi terhingga dan $\{\overline{v}_1,\overline{v}_2, \cdots, \overline{v}_r\}$ adalah sembarang basis, maka
a) Setiap himpunan dengan lebih dari $r$ vektor tak bebas linear.
b) Tidak ada himpunan dengan vektor kurang dari $r$ yang merentang $V$ .

Teorema 2: Dimensi

Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama.

Definisi 2: Dimensi

Dimensi ruang vektor berdimensi terhingga $V$ , yang dinyatakan dalam notasi $\text{dim}(V)$ , didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk $V$ . Selain itu, didefinisikan juga bahwa ruang vektor nol mempunyai dimensi $0$ .

DEFENISI : RUANG BARIS, RUANG KOLOM, DAN RUANG NOL

Jika $A$ adalah matriks berordo $m \times n$ , maka subruang dari $\mathbb{R}^n$ yang terentang oleh vektor-vektor baris dari $A$ disebut ruang baris dari $A$ dan subruang dari $\mathbb{R}^m$ yang terentang oleh vektor-vektor kolom dari $A$ disebut ruang kolom dari $A$ . Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen $A\overline{x} = \overline{0}$ yang merupakan subruang dari $\mathbb{R}^n$ disebut ruang nol dari $A$ .

TEOREMA 1 : RUANG KOLOM

Suatu SPL $A\overline{x} = \overline{b}$ konsisten (memiliki penyelesaian) jika dan hanya jika $\overline{b}$ berada dalam ruang kolom dari $A$

TEOREMA : HUBUNGAN ANTARA RUANG PENYELESAIAN $A\overline{x} = \overline{0}$

Jika $x_0$ menyatakan sembarang penyelesaian tunggal dari suatu sistem linear tak homogen yang konsisten, yaitu $A\overline{x} = \overline{b}$ , dan jika $\{\overline{v}_1,\overline{v}_2,\cdots, \overline{v}_r\}$ membentuk suatu basis untuk ruang nol dari $A$ (ruang penyelesaian dari sistem homogen $A\overline{x} = \overline{0}$ ), maka setiap penyelesaian dari $A\overline{x} = \overline{b}$ dapat dinyatakan dalam bentuk
$\overline{x} = \overline{x} _0 + c_1\overline{v}_1 + c_2\overline{v}_2 + \cdots + c_r\overline{v}_r$
dan sebaliknya dengan skalar $c_1, c_2, \cdots, c_r$ , sedangkan vektor $\overline{x}$ dalam rumus ini merupakan penyelesaian dari $A\overline{x} = \overline{b}$

KEBEBASAN LINIER

1. KOMBINASI LINEAR

Definisi

Vektor V dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor – vektor v₁, v₂,…,v_n bila wbisa dinyatakan sebagai :

w = k₁v₁ + k₂v₂ + … + k_nv_n , dengan k₁,k₂,…,k_n adalah skalar.

TEOREMA

Himpunan semua kombinasi linear dari sembarang himpunan vektor-vektor yang tidak kosong dari V adalah suatu ruang bagian dari V

CONTOH SOAL KOMBINASI LINEAR

Diketahui a = (1, 2), b = (-2, -3), dan c = (1, 3). Apakah c merupakan kombinasi linear dari a dan b?

Jawab:

Misalkan c merupakan kombinasi linear dari a dan b maka dapat ditentukan dengan c = k₁a + k₂b

(1, 3) = k₁(1, 2) + k₂(-2, -3)

(1, 3) = (1k₁, 2k₁) + (-2k₂, -3k₂)

Maka dapat dinyatakan 1 = k₁ – 2k₂ dan 3 = 2k₁ – 3k₂Sehingga diperoleh pengenyelesaian k₁ = 3 dan k₂ = 1

Jadi c merupakan kombinasi linear dari a dan b, dan dinyatakan dengan c = 3a + b

2. MEMBANGUN (MERENTANG)

Definisi

Himpunan vektor S = {s₁, s₂, ... , s_n} dimana s₁, s₂, ... , s_nÎ V disebut membangun jika setiap v Î V, v merupakan kombinasi linear dari S ,yaitu : v = k₁s₁ + k₂s₂ +…+ k_ns_n, dengan k₁,k₂,…,k_n adalah skalar.

CONTOH SOAL MEMBANGUN

Vektor-vektor i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) merentang R³.

Jawab :

Misal x = (x₁, x₂, x₃) Є R³ sehingga akan dibuktikan k₁i + k₂j + k₃k = x

Jadi semua vector di R³ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear i, j, k; sehingga i, j, k membangun R³.

CONTOH LAIN

● Polinom-polinom 1, x, x², ... , xⁿ membangun ruang vektor P_n, karena polinom p pada P_n dapat dituliskan sebagai p = a₀ + a₁ x + a₂ x² +...+ a_n xⁿ

● Yang merupakan kombinasi linear dari 1, x, x², ... , xⁿ

3. BEBAS DAN BERGANTUNG LINEAR

Definisi

Jika S = {v₁, v₂, v₃, ……………,v_n}adalah himpunan vector sedemikian sehingga, k₁v₁+ k₂v₂ + … + k_nv_n = 0 maka S = {v₁, v₂, v₃,..., v_n} disebut :

1. Bebas linier apabila scalar-skalar k₁, k₂,…,k_n semuanya nol.

2. Bergantung linier apabila scalar-skalar k1, k2, k3,…, kn tidak semuanya nol.

CIRI-CIRI BEBAS DAN BERGANTUNG LINEAR

● Himpunan vector S bebas linier jika system persamaan linier hanya mempunyai penyelesaian trivial (nol).

● Himpunan vector S bergantung linier jika system persamaan linier mempunyai persamaan non trivial.

● Vektor S merupakan bebas linear apabila

1. Matrik tersebut det(S) ≠ 0.

2. Ketiga vector tersebut mempunyai invers (sehingga dapat dibalik).

BASIS DAN DIMENSI

Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :

Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :

i. S bebas linier;

ii. S serentang V.

Contoh 1

Misalkan e1 = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e2 = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , en = ( 0, 0, 0, … , 1 ). Dalam contoh pada pembahasan kebebasan linier, kita telah menunjukkan bahwa S = { e1, e2, … , en } adalah himpunan bebas linier dengan Rn. Karena setiap vector v = (v1, v2, … , vn) pada Rn dapat dituliskan sebagai v = v1e1 + v2e2 + … + vnen, maka S merentang Rn sehingga S adalah sebuah basis. Basis tersebut dinamakan basis baku untuk Rn.

Contoh 2

Misalkan v1 = ( 1, 2, 1 ), v2 = ( 2, 9, 0 ), dan v3 = ( 3, 3, 4). Perlihatkan bahwa himpunan S = { v1, v2, v3 } adalah basis untuk R3.

Pemecahan. Untuk memperlihatkan bahwa S serentang R3, maka kita harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b1, b2, b3 ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier

b = k1v1 + k2v2 + k3v3

dari vector – vector pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan

( b1, b2, b3 ) = k1 ( 1, 2, 1 ) + k2 ( 2, 9, 0 ) + k3 ( 3, 3, 4 )

atau

( b1, b2, b3 ) = ( k1 + 2k2 + 3k3, 2k1 + 9k2 + 3k3, k1 + 4k3 )

atau

k1 + 2k2 + 3k3 = b1

2k1 + 9k2 + 3k3 = b2

k1 + 4k3 = b3 (1.1)

Jadi, untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus perlihatkan bahwa system (1.1) mempunyai pemecahan semua pilihan b = (b1, b2, b3 ). Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus perlihatkan bahwa satu – satunya pemecahan dari

k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 (1.2)

adalah k1 = k2 = k3 = 0

seperti sebelumnya, jika (1.2) dinyatakan dalam komponen – komponennya, maka pembuktian bebas linier akan direduksi menjadi pembuktian bahwa system tersebut homogen

k1 + 2k2 + 3k3 = 0

2k1 + 9k2 + 3k3 = 0

k1 + 4k3 = 0 (1.3)

hanya mempunyai pemecahan trivial. Perhatikan bahwa system (1.1) dan system (1.3) mempunyai matriks koefisien yang sama. Jadi, menurut bagian – bagian (a), (b), (d) dari Teorema 15 pada bagian Hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan, kita dapat secara serentak membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R3 dengan memperlihatakan bahwa matriks koefisien

Pada system (1.1) dan system (1.3) dapat dibalik. Karena

maka jelaslah dari Teorema 7 pada bagian Sifat-Sifat Fungsi Determinan bahwa A dapat dibalik. Jadi, S adalah sebuah basis untuk R3.

Contoh 3

Himpunan S = { 1, x, x2, … , xn } merupakan basis untuk ruang vector Pn yang diperkenalkan dalam contoh 13 pada bagian Subruang. Dari contoh 18, vector – vector pada S merentang Pn. Untuk melihat bahwa S bebas linier, anggaplah bahwa suatu kombinasi linier dari vector – vector S adalah vector nol, yakni

c0 + c1x + … + cnxn = 0 (untuk semua x) (1.4)

Kita harus perlihatkan bahwa c0 = c1 = … = cn = 0. Dari aljabar kita ketahui bahwa polinom taknol berderajat n mempunyai paling banyak n akar yang berbeda. Karena (1.4) memenuhi untuk semua x, maka setiap nilai x adalah sebuah akar dari ruas kiri, hal ini berarti bahwa c1 = c2 = … = cn = 0; kalau tidak, maka c0 + c1x + … cnxn dapat mempunyai paling banyak n akar. Maka himpunan S adalah himpunan bebas linier.

Basis S dalam contoh ini dinamakan basis baku untuk Pn.

Contoh 3

Andaikan ruang V= {u, v, w, s}, di mana:

. Cari basis dan dimensi dari ruang V!

Solusi : (Menggunakan matriks)

Basis dari V={(-1, 1 , 1), (0, -1, 3)}

Dimensi V = 2.

DIAGONALISASI

Masalah Diagonalisasi. Diberikan sebuah operator linier T : V → V pada sebuah ruang vector berdimensi berhingga, apakah terdapat sebuah basis untuk V terhadap mana matriks T diagonal?

Jika A adalah matriks untuk T : V→ V yang bertalian dengan beberapa basis sembarang, maka soal ini ekivalen dengan menanyakan apakah terdapat perubahan basis sehingga matriks baru untuk T diagonal. Menurut teorema 8 dalam bagian 5.5, matriks baru untuk T akan sama dengan P^-1 AP dimana P adalah matriks transisi yang sesuai. Jadi, kita sampai kepada perumusan matriks berikut yang berbentuk masalah diagonalisasi.

Bentuk matriks dari masalah diagonalisasi. Diketahui matriks kuadrat A, apakah terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P^-1 AP diagonal?

Masalah ini menyarankan definisi – definisi berikut.

Definisi. Matriks kuadrat A dinamakan dapat didiagonalisasi ( diagonalizable) jika terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P^-1 AP diagonal; matriks P dikatakanmendiagonalisasi A.

Teorema berikut adalah alat dasar dalam pengkajian diagonalisasi; buktinya akan mengungkapkan bagaimana mendiagonalkan matriks.

Teorema 2. Jika A adalah matriks n × n, maka pernyataan – pernyataan berikut ekivalen satu sama lain.

(a) A dapat didiagonalisasi.

(b) A mempunyai n vector eigen bebas linier

Bukti (a) → (b). karena A dianggap dapat didiagonalisasi, maka terdapat matriks yang dapat di balik

Sehingga P^-1AP diagonal, katakanlah P^-1AP = D, dimana

Maka, AP = PD ; yakni

AP = (6.4)

Jika sekarang kita misalkan p₁, p₂, . . . , p_n menyatakan vector – vector kolom P, maka bentuk (6.4) kolom – kolom AP yang berurutan adalah λ₁P₁,λ₂P₂, . . . , λ_nP_n. akan tetapi, dari contoh 18 bagian 1.4 kolom – kolom AP yang berurutan adalah Ap₁, Ap₂, . . . ,Ap_n. jadi, harus kita memperoleh

Ap₁ = λ₁P₁, AP₂= λ₂P_{2, . . . ,}Ap_n= λ_nP_n(6.5)

Karena P dapat dibalik, maka vector – vector kolomnya semuanya tak nol; jadi menurut (6.5), λ_1,λ_2,. . . , λ_nadalah nilai – nilai eigen A, dan p₁, p₂, . . . , p_nadalah vector – vector eigen yang bersesuaian. Karena P dapat dibalik, maka teorema 15 dalam bagian 6.4 diperoleh bahwa p₁, p₂, . . . , p_nbebas linier. Jadi, A mempunyai n vector eigen bebas linier.

(b) → (a) anggaplah bahwa A mempunyai n vector eigen bebas linier, maka p₁, p₂, . . . , p_ndengan nilai eigen yang bersesuaian λ₁, λ₂, . . . , λ_ndan misalkan

Adalah mastriks yang vector – vector kolomnya adalah p₁, p₂, . . . , p_n.menurut contoh 17 pada bagian 1.4, kolom – kolom dari hasil kali AP adalah

Ap_1,Ap_2,. . . , Ap_n

Tetapi

Ap₁ = λ₁P₁, AP₂= λ₂P_{2, . . . ,}Ap_n= λ_nP_n

Sehingga

AP= = =PD (6.6)