1. Memahami materi himpunan, fungsi, polinomial, dan matriks (sangat ditekankan)
2. Memahami prinsip logika matematika (konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, ekuivalensi).
3. Dapat mereduksi matriks menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE).
Ruang Vektor
Tujuan:
1. Mengingat kembali persamaan garis dan bidang di ruang.
2. Memahami aksioma ruang vektor, kombinasi linier dan
ruang bagian.
3. Mengingat kembali pengertian bebas dan bergantung linier,
basis dan dimensi.
Arti geometris dari determinan:
Jika A matriks 2x2, |det(A)| = area dari jajaran genjang
dibentuk oleh 2 vektor.
Jika A matriks 3x3, |det(A)| = volume dari parallepipedum
dibentuk oleh 3 vektor.
Persamaan garis dan bidang di ruang
Garis di ruang dimensi 2:
persamaannya adalah
y –a = m (x – b)
(jadi diperlukan kemiringan m dan titik yang dilalui (a,b))
Bidang di ruang dimensi 3:
Diperlukan inklinasi (kemiringan) dan titik yang dilalui.
Untuk menyatakan inklinasi adalah satu vektor yang tegak
lurus terhadap bidang.
Definisi Ruang Vektor (Vector Space)
Anggap
adalah sembarang himpunan tak kosong dari objek di mana operasipenjumlahan dan operasi perkalian skalar didefinisikan. Penjumlahan yang dimaksud adalah aturan yang menghubungkan setiap pasangan objek
dengan suatu objek
, yang disebut sebagai jumlah dari
dan
. Sedangkan perkalian skalar adalah aturan yang menghubungkan setiap skalar
dan objek
dengan objek
. Jika 10 aksioma berikut terpenuhi oleh semua objek
dan skalar
dan
, maka
disebut sebagai ruang vektor dan semua objek di dalamnya disebut vektor.
Aksioma 1:
Jika
dan
adalah objek dalam
, maka
juga berada dalam
.
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat ketertutupan operasipenjumlahan.
Aksioma 2:

Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat komutatifpenjumlahan.
Aksioma 3:

Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat asosiatif penjumlahan.
Aksioma 4:
Ada objek
dalam
yang disebut objek nol (selanjutnya vektor nol), sedemikian sehingga berlaku

untuk setiap
.
Catatan 1: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai bentuk identitas penjumlahan.
Catatan 2: Objek
yang disebut sebagai “identitas” tidak selalu berarti vektor nol
. Hal ini tergantung dari definisi operasi yang diberikan. Jika diberikanhimpunan
, maka untuk
, haruslah berlaku

Prinsip seperti ini sebenarnya sama dengan prinsip pada identitas penjumlahan/perkalian bilangan real, yaitu untuk
,
dan 
Untuk itu,
disebut identitas penjumlahan dan
disebut identitas perkalian padabilangan real.
Aksioma 5:
Untuk setiap
, ada objek
yang disebut negatif dari
sedemikian sehingga berlaku

Catatan 1: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai invers penjumlahan.
Catatan 2:
juga tidak selalu sama dengan
. Hal ini tergantung dari operasi yang diberikan. Suatu vektor dikatakan invers dari vektor yang lain jika keduanya dioperasikan menghasilkan identitas. Untuk itu, identitasnya harus terlebih dahulu diketahui.
Aksioma 6:
Jika
adalah sembarang skalar dan
adalah sembarang objek dalam
, maka berlaku
.
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat ketertutupan operasiperkalian.
Aksioma 7:

Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Aksioma 8:

Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Aksioma 9:

Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat asosiatif perkalian.
Aksioma 10:

Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai bentuk identitas perkalian.
Aksioma 1:
Jika
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat ketertutupan operasipenjumlahan.
Aksioma 2:
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat komutatifpenjumlahan.
Aksioma 3:
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat asosiatif penjumlahan.
Aksioma 4:
Ada objek
untuk setiap
Catatan 1: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai bentuk identitas penjumlahan.
Catatan 2: Objek
Prinsip seperti ini sebenarnya sama dengan prinsip pada identitas penjumlahan/perkalian bilangan real, yaitu untuk
Untuk itu,
Aksioma 5:
Untuk setiap
Catatan 1: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai invers penjumlahan.
Catatan 2:
Aksioma 6:
Jika
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat ketertutupan operasiperkalian.
Aksioma 7:
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Aksioma 8:
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Aksioma 9:
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat asosiatif perkalian.
Aksioma 10:
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai bentuk identitas perkalian.
Perlu diperhatikan bahwa skalar yang dimaksud di sini adalah BILANGAN (bukan vektor). Umumnya suatu kajian dibatasi hanya sampai bilangan real
saja, tetapi memungkinkan untuk diperluas sampai bilangan kompleks. Bilangan kompleks
adalah gabungan dari bilangan real dan bilangan imajiner (khayal). Bila dalam suatu kasus, tidak ada keterangan yang menyatakan jenis bilangan pada suatu skalar, maka skalar yang dimaksud itu adalah bilangan real.
Teorema Ruang Vektor
Teorema Ruang Vektor
Jika
adalah suatu ruang vektor,
adalah vektor dalam
, dan
sembarang skalar, maka
1. 
2. 
3. 
4. Jika
, maka
atau 
Suatu himpunan bagian
dari ruang vektor
disebut subruang/ruang bagian dari
jika
sendiri adalah ruang vektor di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada
.
Jika
adalah subruang dari
, maka
harus memenuhi 2 syarat berikut.
a) Jika
, maka 
b) Jika
sembarang skalar dan
vektor sembarang dalam
, maka 
Jika
adalah suatu sistem linear homogen dari
persamaan dan
variabel, maka himpunan vektor penyelesaiannya adalah suatu subruang dari
.
Catatan: Sistem linear homogen adalah sistem persamaan linear dengan konstanta 0 (nol), misalnya
Notasi
(dibaca: R n, bukan R pangkat n) menyatakan ruang dimensi
.
Suatu vektor
disebut kombinasi linear dari vektor-vektor
jika dapat dinyatakan dalam bentuk

dengan
sembarang skalar.
dengan
Teorema: Hubungan Subruang dan Kombinasi Linear
Jika
adalah vektor-vektor dalam ruang vektor
, maka
a) Himpunan
yang anggotanya merupakan vektor kombinasi linear dari
merupakan subruang dari
.
b)
adalah subruang terkecil dari
yang berisi
dalam pengertian bahwa setiap subruang lain dari
yang berisi
pasti mengandung
.
a) Himpunan
b)
Definisi Ruang Terentang (Spanning Space)
Jika
adalah himpunan vektor dalam ruang vektor
, maka subruang
dari
yang mengandung semua kombinasi linear dari vektor dalam
disebut ruang terentang oleh
dan kita katakan bahwa
adalah rentang
. Untuk menunjukkan bahwa
adalah ruang terentang oleh vektor dalam himpunan
, kita tuliskan

atau

Notasi ini hanya berlaku dalam bahasa Indonesia, sedangkan secara luas (internasional) , notasi rentang disimbolkan dengan

Untuk itu, notasi terakhir ini yang akan dipakai pada uraian selanjutnya.
Catatan: Merentang (spanning) dapat diartikan memanjang, melebar, meluas, dan sebagainya.
atau
Notasi ini hanya berlaku dalam bahasa Indonesia, sedangkan secara luas (internasional) , notasi rentang disimbolkan dengan
Untuk itu, notasi terakhir ini yang akan dipakai pada uraian selanjutnya.
Catatan: Merentang (spanning) dapat diartikan memanjang, melebar, meluas, dan sebagainya.
Teorema Rentang (Spanning)
Jika
dan
adalah dua himpunan vektor dalam ruang vektor
, maka

jika dan hanya jika setiap vektor dalam
adalah kombinasi linear dari vektor dalam
, begitu juga sebaliknya.
jika dan hanya jika setiap vektor dalam
Definisi Kebebasan Linear
Jika
adalah himpunan vektor tak kosong, maka persamaan vektor

mempunyai setidaknya satu penyelesaian, yaitu

Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka
disebut himpunan yang bebas linear (linearly independent). Jika ada penyelesaian lain, maka
disebut himpunan yang tidak bebas linear (atau diistilahkan, bergantung linear (linearly dependent)).
mempunyai setidaknya satu penyelesaian, yaitu
Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka
Salah satu istilah baru dari definisi ini adalah penyelesaian trivial (trivial solution), yaitu penyelesaian dari suatu sistem linear yang nilai-nilai variabelnya adalah 0.
Teorema 1: Kebebasan Linear
Suatu himpunan dengan dua atau lebih vektor disebut
a) tak bebas secara linear jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor dalam
dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor lainnya dalam
.
b) bebas secara linear jika dan hanya jika tidak ada vektor dalam
yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor lainnya dalam
.
a) tak bebas secara linear jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor dalam
b) bebas secara linear jika dan hanya jika tidak ada vektor dalam
Teorema 2: Kebebasan Linear
a) Suatu himpunan vektor berhingga yang berisi vektor nol tak bebas linear.
b) Suatu himpunan dengan tepat 2 vektor dikatakan bebas linear jika dan hanya jika vektor yang satu bukan merupakan penggandaan skalar dari vektor yang lain.
b) Suatu himpunan dengan tepat 2 vektor dikatakan bebas linear jika dan hanya jika vektor yang satu bukan merupakan penggandaan skalar dari vektor yang lain.
Intepretasi Geometrik dari Kebebasan Linear
Dalam
atau
(ruang dimensi 2 atau ruang dimensi 3), kebebasan linear dapat dijelaskan dengan konsep geometri.

Pada
maupun
, suatu himpunan dua vektor bebas linear jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada garis yang sama bila kedua titik pangkalnya ditempatkan pada titik asal (titik (0,0)),

Pada

sedangkan pada
Teorema 3: Kebebasan Linear
Misalkan
adalah himpunan vektor dalam
. Jika
, maka
tidak bebas linear.
Definisi Basis dalam Ruang Vektor
Jika
adalah sembarang ruang vektor dan
adalah himpunanvektor dalam
, maka
disebut basis untuk
jika dua syarat berikut terpenuhi.
a)
bebas linear,
b)
merentang dalam
.
a)
b)
Teorema Basis dalam Ruang Vektor
Jika
adalah suatu basis untuk ruang vektor
, maka setiap vektor
dalam
dapat dinyatakan dalam bentuk
hanya dalam satu cara.
hanya dalam satu cara.
Definisi 1: Dimensi
Suatu ruang vektor tak nol
disebut berdimensi terhingga jika
berisi suatuhimpunan vektor terhingga
yang membentuk suatu basis. Jika tidak adahimpunan yang demikian, maka
disebut berdimensi tak terhingga. Selain itu, didefinisikan ruang vektor nol sebagai dimensi terhingga.
Teorema 1: Dimensi
Jika
adalah ruang vektor berdimensi terhingga dan
adalah sembarang basis, maka
a) Setiap himpunan dengan lebih dari
vektor tak bebas linear.
b) Tidak ada himpunan dengan vektor kurang dari
yang merentang
.
a) Setiap himpunan dengan lebih dari
b) Tidak ada himpunan dengan vektor kurang dari
Teorema 2: Dimensi
Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama.
Definisi 2: Dimensi
Dimensi ruang vektor berdimensi terhingga
, yang dinyatakan dalam notasi
, didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk
. Selain itu, didefinisikan juga bahwa ruang vektor nol mempunyai dimensi
.
DEFENISI : RUANG BARIS, RUANG KOLOM, DAN RUANG NOL
Jika
adalah matriks berordo
, maka subruang dari
yang terentang oleh vektor-vektor baris dari
disebut ruang baris dari
dan subruang dari
yang terentang oleh vektor-vektor kolom dari
disebut ruang kolom dari
. Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen
yang merupakan subruang dari
disebut ruang nol dari
.
TEOREMA 1 : RUANG KOLOM
Suatu SPL
konsisten (memiliki penyelesaian) jika dan hanya jika
berada dalam ruang kolom dari 
Jika
menyatakan sembarang penyelesaian tunggal dari suatu sistem linear tak homogen yang konsisten, yaitu
, dan jika
membentuk suatu basis untuk ruang nol dari
(ruang penyelesaian dari sistem homogen
), maka setiap penyelesaian dari
dapat dinyatakan dalam bentuk

dan sebaliknya dengan skalar
, sedangkan vektor
dalam rumus ini merupakan penyelesaian dari 
dan sebaliknya dengan skalar
Tidak ada komentar:
Posting Komentar