HARGA MUTLAK

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK LINIER SATU VARIABEL

Dari sudut pandang geometri, nilai mutlak dari x ditulis | x |, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real.

Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan|x|= {x jika x ≥ 0 − x jika x < 0 |x| ={−x jika x ≥ 0 − x jika x < 0 atau dapat pula ditulis :

| x | = -x    jika x ≥ 0

| x | = -x    jika x < 0

Definisi diatas dapat kita maknai sebagai berikut :

Nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan dari bilangan tersebut.

Sebagai contoh:

| 7 | = 7      | 0 | = 0      | -4 | = -(-4) = 4

Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.


Persamaan √X² =x hanya bernilai benar jika x ≥ 0. Untuk x < 0, maka √X² =−x. Dapat kita tulis

√x² = x jika ≥ 0

√X²= -X jika < 0

Jika kita perhatikan, bentuk diatas sama persis dengan definisi nilai mutlak x. Oleh karenanya, pernyataan berikut benar untuk setiap x bilangan real.

|x|=√x²

Jika kedua ruas persamaan diatas kita akan diperoleh :

|x|²=x²

Persamaan terakhir ini merupakan konsep dasar penyelesaian persamaan atau pertidaksamaan nilai mutlak dengan cara menguadratkan kedua ruas. Seperti yang kita lihat, tanda mutlak bisa hilang jika dikuadratkan.

Namun, pada artikel ini kita akan lebih fokus pada bentuk linier, baik dari kasus ataupun solusi, tanpa melibatkan bentuk kuadrat.

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Diawal telah disinggung bahwa nilai mutlak x adalah jarak dari x ke nol pada garis bilangan real. Pernyataan inilah yang akan kita gunakan untuk menemukan solusi dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier.

| x | = a   dengan a > 0

Persamaan | x | = a artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a. Perhatikan gambar berikut.

Jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu a. Pertanyaannya adalah dimana x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a.

Posisi x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar diatas, yaitu x = -a atau x = a. Jelas terlihat bahwa jarak dari titik tersebut ke 0 sama dengan a. Jadi, agar jarak x ke nol sama dengan a, haruslah x = -a atau x = a.

| x | < a  untuk a > 0

Pertaksamaan | x | < a, artinya jarak dari x ke 0 kurang dari a. Perhatikan gambar berikut.

Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah yaitu x < -a atau x > a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 lebih dari a. Jadi, agar jarak x ke nol lebih dari a, haruslah x < -a atau x > a.

Secara intuitif, uraian-uraian diatas dapat kita simpulkan sebagai berikut :

SIFAT : Untuk a > 0 berlaku
a.  | x | = a  ⇔  x = a  atau  x = -a
b.  | x | < a  ⇔  -a < x < a
c.  | x | > a  ⇔  x < -a  atau  x > a


Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 7| = 3

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 7| = 3  ⇔  2x - 7 = 3  atau  2x - 7 = -3
|2x - 7| = 3  ⇔  2x = 10  atau  2x = 4
|2x - 7| = 3  ⇔  x = 5  atau  x = 2

Jadi, HP = {2, 5}.


Contoh 2
Tentukan HP dari |2x - 1| = |x + 4|

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 1| = |x + 4|

⇔  2x - 1 = x + 4  atau  2x - 1 = -(x + 4)
⇔  x = 5  atau  3x = -3
⇔  x = 5  atau  x = -1

Jadi, HP = {-1, 5}.


Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| < 7

Jawab :
Berdasarkan sifat b :
|2x - 1| < 7  ⇔  -7 < 2x - 1 < 7
|2x - 1| < 7  ⇔  -6 < 2x < 8
|2x - 1| < 7  ⇔  -3 < x < 4

Jadi, HP = {-3 < x < 4}.

Menggunakan Definisi untuk Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Dalam menyelesaikan persamaan dan pertaksamaan nilai mutlak bentuk linier dengan menggunakan definisi, akan sangat membantu jika bentuk |ax + b| kita jabarkan menjadi
|ax + b| = ax + b       jika x ≥ -b/a
|ax + b| = -(ax + b)   jika x < -b/a

Untuk langkah-langkah penyelesaiannya dapat disimak pada contoh-contoh berikut.

Contoh 4

Jabarkan bentuk nilai mutlak berikut :
a.  |4x - 3|
b.  |2x + 8|

Jawab :
a.  Untuk |4x - 3|
     |4x - 3| = 4x - 3       jika  x ≥ 3/4
     |4x - 3| = -(4x - 3)   jika  x < 3/4

b.  Untuk  |2x + 8|
     |2x + 8| = 2x + 8       jika  x ≥ -4
     |2x + 8| = -(2x + 8)   jika  x < -4


Contoh 5

Nilai x yang memenuhi persamaan |x - 2| = 2x + 1 adalah...

Jawab :
|x - 2| = x - 2       jika  x ≥ 2
|x - 2| = -(x - 2)   jika  x < 2

Untuk x ≥ 2
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x - 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -x = 3
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x = -3
Karena x ≥ 2, maka x = -3 tidak memenuhi

Untuk x < 2
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -(x - 2) = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -x + 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -3x = -1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x = 1/3
Karena x < 2, maka x = 1/3 memenuhi.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = 1/3.


Contoh 6

Tentukan HP dari |x + 1| > 2x - 4

Jawab :
|x + 1| = x + 1       jika  x ≥ -1
|x + 1| = -(x + 1)   jika  x < -1

Untuk x ≥ -1
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  x + 1 > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -x > -5
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  x < 5
Irisan dari x ≥ -1 dan x < 5 adalah -1 ≤ x < 5   

Untuk x < -1
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -(x + 1) > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -x - 1 > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -3x > -3
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  x < 1
Irisan dari x < -1 dan x < 1 adalah x < -1   

Jadi, HP = {x < -1  atau  -1 ≤ x < 5}
Jadi, HP = {x < 5}


Contoh 7
Nyatakan |x - 4| + |2x + 6| tanpa menggunakan simbol nilai mutlak

Jawab :
|x - 4| = x - 4 jika x ≥ 4
|x - 4| = -(x - 4) jika x < 4

|2x + 6| = 2x + 6 jika x ≥ -3
|2x + 6| = -(2x + 6) jika x < -3

Jika interval-interval diatas digambarkan pada garis bilangan akan diperoleh :

Untuk x < -3
|x - 4| + |2x + 6| = -(x - 4) - (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = -x + 4 - 2x - 6
|x - 4| + |2x + 6| = -3x - 2

Untuk -3 ≤ x < 4
|x - 4| + |2x + 6| = -(x - 4) + (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = -x + 4 + 2x + 6
|x - 4| + |2x + 6| = x + 10

Untuk x ≥ 4
|x - 4| + |2x + 6| = (x - 4) + (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = x - 4 + 2x + 6
|x - 4| + |2x + 6| = 3x + 2

Dari uraian diatas, kita simpulkan
$|x-4|+|2x+6|=\{\begin{array}{c}-3x-2jikax<-3\\ -x+10jika-3\le x<4\\ -3x+2jikax\ge 4\end{array}$ 

BILANGAN RIIL DAN PERTIDAKSAMAAN

Dalam matematika bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk decimal. Bilangan real meliputi bilangan rasional, dan bilangan irasional. Bilangan irasional memiliki representasi decimal tidak berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi decimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat dipresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

Sifat- sifat Bilangan Rill

·        Aksioma Medan

Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksioma berikut. Misalkan x,ydan z merupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi x+y merupakan penjumlahan, serta xy merupakan perkalian. Maka:

·         Aksioma 1 (hukum komutatif): x+y = y+x, dan xy = yx

·         Aksioma 2 (hukum asosiatif): x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z

·         Aksioma 3 (hukum distributif): x(y+z) = (xy + xz)

·         Aksioma 4: Eksistensi unsur identitas. Terdapat dua bilangan riil berbeda, yang dilambangkan sebagai 0 dan 1, sehingga untuk setiap bilangan riil x kita mendapatkan 0+x=x dan 1.x=x.

·         Aksioma 5: Eksistensi negatif, atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan riil x, terdapat bilangan riil y sehingga x+y=0. Kita dapat juga melambangkan y sebagai -x.Aksioma 6: Eksistensi resiprokal, atau invers terhadap perkalian. Untuk setiap bilangan riil x tidak sama dengan 0, terdapat bilangan riil y sehingga xy=1. Kita dapat melambangkan y sebagai 1/x.

Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.

·        Aksioma Urutan

Kita akan mengasumsikan terdapat himpunan R+, yang disebut sebagai bilangan positif yang merupakan himpunan bagian dari R. Misalkan juga x dan y adalah anggota R+. Himpunan bagian ini memenuhi aksioma urutan berikut ini^.

o    Aksioma 7: x+y dan xy merupakan anggota R+

o    Aksioma 8: Untuk setiap x yang tidak sama dengan 0, x anggota R+ atau -x anggota R+, tapi tidak mungkin keduanya sekaligus

o    Aksioma 9: 0 bukan anggota R+.

·        Aksioma Kelengkapan

o    Aksioma 10: Setiap himpunan bilangan riil S yang memiliki batas atas memiliki supremum, yakni ada suatu bilangan riil B sehingga B=sup(S).

PERTIDAKSAMAAN

Sifat-sifat Pertidaksamaan

1.     tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama

Jika a < b maka:

a + c < b + c

a – c < b – c

2.     tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positifyang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:

a.c < b.c

a/b < b/c

3.     tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagidengan bilangan negatif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:

a.c > b.c

a/c > b/c

4.     tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan

Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a² < b²

Pertidaksamaan Linier

→ Variabelnya berpangkat 1
Penyelesaian:
Suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri, dan konstanta diletakkan di ruas kanan
Contoh:

Pertidaksamaan Kuadrat

→ Variabelnya berpangkat 2
Penyelesaian:

1.     Ruas kanan dibuat menjadi nol

2.     Faktorkan

3.     Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama      dengan nol

4.     Gambar garis bilangannya

Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam •

Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °

5.     Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.

Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda

6.     Tentukan himpunan penyelesaian

→ jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+)

→ jika tanda  pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–)

Contoh:
(2x – 1)² ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7
4x² – 4x + 1 ≥ 5x² – 5x – 3x + 3 – 7
4x² – 4x + 1 – 5x² + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0
–x² + 4x + 5 ≥ 0
–(x² – 4x – 5) ≥ 0
–(x – 5).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0
x = 5 atau x = –1

Garis bilangan:

·         menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥

·         jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif

·         karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatif

·         karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}

Pertidaksamaan Tingkat Tinggi

→ Variabel berpangkat lebih dari 2
Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadrat
Contoh:
(2x + 1)².(x² – 5x + 6) < 0
(2x + 1)².(x – 2).(x – 3) < 0
Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3
Garis bilangan:

·         menggunakan titik putih

·         karena tanda pertidaksamaan <

·         jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif

·         karena 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif

·         karena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi –1/2 merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2 juga bernilai positif

·         selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang-seling

karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}

Pertidaksamaan Pecahan

→ ada pembilang dan penyebut
Penyelesaian:

1.             Ruas kanan dijadikan nol

2.             Samakan penyebut di ruas kiri

3.             Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)

4.             Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)

5.             Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4

Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)

6.             Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval

Contoh 1:

Harga nol pembilang: –5x + 20 = 0
–5x = –20 → x = 4
Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3
Garis bilangan:

→ x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut
Jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4}

contoh 2 : 

Harga nol pembilang: x – 2 = 0 atau x + 1 = 0
x = 2 atau x = –1
Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya:
D = b² – 4.a.c = 1² – 4.1.1 = 1 – 4 = –3
Nilai D-nya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real
(Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapat harga nol-nya)
Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}

Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar

→ variabelnya berada dalam tanda akar
Penyelesaian:

1.             Kuadratkan kedua ruas

2.             Jadikan ruas kanan sama dengan nol

3.             Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat

4.             Syarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus ≥ 0

Contoh 1:

Kuadratkan kedua ruas:
x² – 5x – 6 < x² – 3x + 2
x² – 5x – 6 – x² + 3x – 2 < 0
–2x – 8 < 0
Semua dikali –1:
2x + 8 > 0
2x > –8
x > –4
Syarat 1:
x² – 5x – 6 ≥ 0
(x – 6).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x – 6 = 0 atau x + 1 = 0
x = 6 atau x = –1
Syarat 2:
x² – 3x + 2 ≥ 0
(x – 2).(x – 1) ≥ 0
Harga nol: x – 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = 2 atau x = 1
Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | –4 < x ≤ –1 atau x ≥ 6}

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

→ variabelnya berada di dalam tanda mutlak | ….. |
(tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: |3| = 3; |–3| = 3)
Pengertian nilai mutlak:

Penyelesaian:
Jika |x| < a berarti: –a < x < a, dimana a ≥ 0
Jika |x| > a berarti: x < –a atau x > a, dimana a ≥ 0

Contoh 1:
|2x – 3| ≤ 5
berarti:
–5 ≤ 2x – 3 ≤ 5
–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3
–2 ≤ 2x ≤ 8
Semua dibagi 2:
–1 ≤ x ≤ 4

Contoh 2:
|3x + 7| > 2
berarti:
3x + 7 < –2 atau 3x + 7 > 2
3x < –2 – 7 atau 3x > 2 – 7
x < –3 atau x > –5/3

Contoh 3:
|2x – 5| < |x + 4|
Kedua ruas dikuadratkan:
(2x – 5)² < (x + 4)²
(2x – 5)² – (x + 4)² < 0
(2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0    (Ingat! a² – b² = (a + b).(a – b))
(3x – 1).(x – 9) < 0
Harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0
x = 1/3 atau x = 9
Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4}.

Sekian blog mengenai Bilangan Riil dan Pertidaksamaan semoga bermanfaat. Sekiann..