LIMIT KONTINUITAS

KEKONTINUAN FUNGSI

Oktober 7th, 2016

 

Salah satu topik yang berkaitan dengan konsep limit fungsi adalah kekontinuan fungsi atau kontinuitas fungsi. Suatu fungsi dapat kontinu atau tidak kontinu di suatu titik.

Definisi

Misalkan f adalah suatu fungsi riil.  f dikatakan kontinu di x = c apabila:

Catatan:

Fungsi riil adalah fungsi dengan daerah asal maupun daerah nilainya merupakan himpunan bagian dari ℝ.

Persyaratan

pada definisi di atas, teknis pembuktiannya mencakup tiga hal, yaitu

Pertama, limit tersebut ada. Artinya:

Kedua, f(c) terdefinisi

Ketiga,

Apabila ada di antara ketiga hal ini yang tidak dipenuhi, maka kita simpulkan f tidak kontinu (=diskontinu) di x= c.

Contoh 1

Misalkan f suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.

Apakah f kontinu di x = 3?

Jawab:

Langkah 1: Memeriksa eksistensi limit fungsi di x = 3

Limit kiri:

Limit kanan:

Ternyata nilai limit kirinya sama dengan limit kanannya, yaitu 4.

Kita simpulkan

dan

Langkah 2: Memeriksa apakah f terdefinisi di x = 3

Dari pendefinisian f, f(3) terdefinisi, yaitu f(3) = 2

Langkah 3: Memeriksa kesamaan nilai limit fungsi dengan nilai fungsinya

Dari langkah-langkah sebelumnya diperoleh bahwa

Kesimpulan:  f tidak kontinu (atau diskontinu) di x = 3. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada Gambar 1.

Gambar 1

Catatan:

Diskontinuitas di x = 3 pada Contoh 1 dinamakan ketidakkontinuan yang dapat dihapuskan. Dengan mendefinisikan kembali nilai f di x = 3, fungsi tersebut menjadi kontinu. Jadi, agar f kontinu di x = 3, kita definisikan f(3) = 4.

Contoh 2

Misalkan g suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.

Apakah g kontinu di x = 0?

Jawab:

Langkah 1: Memeriksa eksistensi limit fungsi di x = 0

Limit kiri:

Limit kanan:

Ternyata nilai limit kirinya tidak sama dengan limit kanannya, sehingga kita simpulkan:

tidak ada. Pada langkah ini juga, langsung simpulkan g tidak kontinu di x = 0. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada Gambar 2.

Gambar 2

Catatan:

Diskontinuitas di x = 0 pada Contoh 2 dinamakan ketidakkontinuan yang dapat tak terhapuskan. Kita tidak dapat mendefinisikan kembali nilai g di x = 0 untuk membuat g kontinu di sana.

Limit Trigonometri

Pengertian Limit Trigonimetri

Limit trigonometri adalah nilai terdekat suatu sudut pada fungsi trigonometri. Perhitungan limit fungsi trigonometri bisa langsung disubtitusikan seperti limit fungsi aljabar tetapi ada fungsi trigonometri yang harus diubah terlebih dahulu ke identitas trigonometri untuk limit tak tentu yaitu limit yang apabila kita langsung subtitusikan nilai nya bernilai 0, atau bisa juga untuk limit tak tentu tidak harus memakai identitas tetapi memakai teorema limit trigonometri dan ada juga yang memakai identitas dan teorema. Jadi, apabila suatu fungsi limit trigonometri di subtitusikan nilai yang paling mendekati nya menghasilkan dan maka kita harus menyelesaikan dengan cara lain.

Dalam menentukan nilai limit suatu fungsi trigonometri terdapat berbagai cara yang bisa dipakai :

• Metode Numerik
• Subtitusi
• Pemfaktoran
• Kali Sekawan
• Menggunakan Turunan

Penulisan nya dapat ditulis  sebagai berikut :

lim┬( x→c )⁡f( x )

Berbagai Macam – Macam Trigonometri dan singkatan nya

A. Macam – macam trigonometri

Berikut ini adalah nama – nama trigonometri yang biasa kita gunakan :

• Sinus ( sin )
• Tangen ( tan )
• Cosinus ( cos )
• Cotongen ( cot )
• Secan ( sec )
• Cosecan ( Csc )

B. Rumus kebalikan dalam trigonimetri

• sin⁡∝ = 1/csc⁡∝
• cos⁡∝ = 1/sec⁡∝
• tan⁡∝ = 1/cot⁡∝
• tan⁡∝ = sin⁡∝/cos⁡∝
• cot⁡∝=cos⁡∝/sin⁡∝

C. Identitas Trigonometri dalam trigonimetri

Sin2⁡∝ + cos2⁡∝ =1

1+cot2⁡∝=csc2⁡∝

Tan2⁡∝+1=sec2⁡∝

D. Rumus Jumlah dan Selisih dalam trigonimetri

E. Rumus Perkalian dalam trigonimetri

F. Rumus sudut rangkap dalam trigonimetri

Teorema Limit Trigonometri

Ada beberapa teorema yang dapat digunakan untuk menuntaskan persoalan limit trigonometri yaitu sebagai berikut ;

Teorema A

Teorema tersebut hanya berlaku pada saat (x -> 0) .

Teorema B

Terdapat beberapa teorema yang berlaku. Untuk setiap bilangan real ( asli ) “c” di dalam daerah asal fungsi yaitu :

Biasanya dalam sebuah soal limit fungsi trigonometri nilai terdekat dari limit fungsi nya yaitu berupa sudut – sudut istimewa yaitu sudut yang mempunyai nilai sederhana. Karna itu kita perlu mengetahui nilai – nilai sudut istimewa yang terdapat pada tabel di bawah ini :

Tabel sudut istimewa

Supaya lebih jelas lagi dibawah ini terdapat beberapa contoh soal limit fungsi trigonometri

Contoh Soal 1

SOAL  1

Jawab ;

Melihat bentuk limit pada soal di atas kita bisa langsung mensubtitusikan nilai x.

sekian materi mengenai limit trigonometri terimakasih. 

FUNGSI DAN GRAFIK

FUNGSI

Secara intuitif, y dapat dipandang sebagai fungsi dari x, jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) menghubungkan nilai x.

 Contoh :

1. 𝒚 =  + 𝟓

 2. 𝒚 =

FUNGSI (Lanjutan)

 Definisi : Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain) dan himpunan semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi.

(Notasi : f : A → B)

FUNGSI (Lanjutan) Untuk contoh 1, mendefinisikan suatu fungsi (namakan fungsi itu f). Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x dan y memenuhi :

 f = {(x,y)½2x 2 + 5}

 Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5); (1,7); (-1,7); (2,13); (-2,13); …; (10,205), dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut.

FUNGSI (Lanjutan)

1. Himpunan : A, B Î Â

2. Fungsi : y = f(x) x peubah bebas y peubah tak bebas, bergantung pada x

3. Daerah asal fungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi}

4. Daerah hasil fungsi: Wf = {y є B | y = f(x), x Î Df}

5. Grafik fungsi: {(x,y) | x Î Df , y = f(x)}

PENYAJIAN FUNGSI

Ada beberapa cara penyajian suatu fungsi yaitu :

 a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata.

 b. Secara numerik : dengan tabel

c. Secara visual : dengan grafik

 d. Secara aljabar : dengan aturan/rumusan eksplisit

PENYAJIAN FUNGSI (Lanjutan)

a.       Secara verbal

§ Contoh biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w).

§ Aturan yang digunakan di Kantor Pos adalah sebagai berikut :

§ Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons.

PENYAJIAN FUNGSI (Lanjutan)

b. Secara numerik § Contoh biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan pada Tabel berikut :

Berat w (dalam Ons)	Biaya B(w) (dalam Rupiah)
0 < w £ 1	1000
1 < w £ 2	1250
2 < w £ 3	1500
3 < w £ 4	1750
4 < w £ 5	2000

PENYAJIAN FUNGSI (Lanjutan)

c. Secara aljabar

 § Contoh biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut : 𝑩 𝒘 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎, jika 𝟎 < 𝒘 ≤ 𝟏 𝟏. 𝟐𝟓𝟎, jika 𝟏 < 𝒘 ≤ 𝟐 𝟏. 𝟓𝟎𝟎, jika 𝟐 < 𝒘 ≤ 𝟑 𝟏. 𝟕𝟓𝟎, jika 𝟑 < 𝒘 ≤ 𝟒 𝟐. 𝟎𝟎𝟎, jika 𝟒 < 𝒘 ≤ 5

2. Polinomial

 Bentuk umum : y = f(x) = anx n + an-1x n-1 + … + a2x 2 + a1x + a0 an , an-1 , …, a1 , a0 = konstanta n = derajad polinom (an0) Daerah asal, Df = Â

3. Fungsi Pangkat

Bentuk umum : y = f(x) = x n , n Î N Daerah asal, Df = Â

4. Fungsi Akar Bentuk umum : y = f(x) = 𝒙 𝒏 , n = 2, 3, 4, … Daerah asal dan daerah hasil : Df = [0,¥), Wf = [0,¥), jika n genap Df = Â, Wf = Â, jika n ganjil

5. Fungsi Kebalikan Bentuk umum : 𝒚 = 𝟏 𝒙 , 𝒙 ≠ 𝟎 Daerah asal dan daerah hasil : Df = Â - {0}, Wf = Â - {0}

6. Fungsi Rasional

 Bentuk umum : 𝒚 = 𝑷(𝒙) 𝑸(𝒙) , dengan : P, Q adalah polinom Daerah asal : Df = Â - {x½Q(x) = 0}

7. Fungsi Aljabar

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.

Catatan : Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar.

8. Fungsi Trigonometri

a. Fungsi Sinus

b. Fungsi Cosinus

c. Fungsi Tangen

d. Fungsi trigonometri lainnya.

9. Fungsi Eksponensial

Bentuk umum : 𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙 , a > 0 Daerah asal dan daerah hasil : Df = Â, Wf = (0,¥)

10. Fungsi Logaritma

Bentuk umum : 𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂x, a > 0 Daerah asal dan daerah hasil : Df = (0,¥), Wf = Â

11. Fungsi Transenden

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri, invers trigonometri, eksponensial dan logaritma.

12.Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong (piecewise function)

Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal.

13. Fungsi genap dan fungsi ganjil Definisi: jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap. Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.

Definisi: Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil. Catatan : Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.

14. Fungsi naik dan fungsi turun Definisi:

 1. Fungsi f disebut naik pada selang I, jika f(x1 ) < f(x2 ) untuk setiap x1 < x2 di I.

2. Fungsi f disebut turun pada selang I, jika f(x1 ) > f(x2 ) untuk setiap x1 < x2 di I.

BIDANG TEKNIK SIPIL

Secara umum fungsi mengatur hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat. Hubungan antara satu variabel dengan variabel lain atau antara kumpulan variabel dengan satu variabel lain banyak dijumpai dalam bidang teknik sipil, seperti contoh beberapa fungsi berikut : BIDANG TEKNIK SIPIL 1. Hubungan antara momen lentur (Mx ) suatu penampang dengan absis penam-pang tersebut (x) pada balok sederhana sepanjang bentang (L) dengan beban merata (q) yang diberikan oleh fungsi : 𝑴𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒒𝑳𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒒𝒙^2

2. Hubungan antara tegangan (s) dan regangan (e) suatu bahan yang bermodulus elastis (E) dalam batas elastis diberikan oleh fungsi : 𝝈 = 𝑬. 𝜺 BIDANG TEKNIK SIPIL (Lanjutan)

3. Hubungan antara kecepatan aliran air (v) pada saluran terbuka yang memiliki keliling basah (R), koefisien kekasaran dinding (c) dan kemiringan dasar saluran (i), diberikan oleh fungsi : 𝒗 = c

GRAFIK FUNGSI

§ Grafik fungsi adalah presentasi fungsi menggunakan gambar dengan mengacu pada sistem koordinat tertentu, misalnya koordinat kartesius, koordinat polar dan sebagainya.

§ Dengan grafik fungsi, perilaku fungsi lebih mudah diamati misalnya, apakah fungsi naik, fungsi turun, mencapai maksimum/minimum atau mencapai nol.

§ Disamping itu dengan memahami bentuk-bentuk grafik fungsi dapat membantu menemukan persamaan fungsi dari peristiwa alam yang diketahui datanya secara diskrit.

Berikut ini diberikan contoh-contoh grafik fungsi yang digunakan dalam bidang teknik sipil :

1.       Grafik fungsi gaya lintang pada balok sederhana yang mendapat beban terbagi merata sepanjang batang seperti gambar berikut :

2.       Grafik fungsi momen lentur pada balok kantilever yang mendapat beban terbagi terbagi merata seperti gambar berikut :

3.       Grafik hubungan antara defleksi puncak frame dua batang yang dianalisis secara non-linier geometri seperti gambar berikut :

4.       Grafik hubungan antara kadar air dan volume tanah pada batas-batas konsistensi seperti gambar berikut :