TURUNAN KEDUA SUATU FUNGSI

Pada pembahasan ini kita akan berlatih untuk melakukan hal-hal berikut.

1. Menentukan selang di mana suatu fungsi cekung ke atas atau cekung ke bawah.
2. Menemukan titik belok grafik suatu fungsi.
3. Menerapkan Uji Turunan Kedua untuk menemukan nilai ekstrim suatu fungsi.

Kecekungan

Karakteristik suatu fungsi yang naik atau turun dapat kita gunakan untuk mendeskripsikan grafik fungsi tersebut. Selain itu, apabila kita tahu dimana letak selang yang membuat f ’ naik atau turun maka kita dapat menentukan di mana grafik fungsi fakan cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Definisi Kecekungan

Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawahpada I jika f ’ turun pada selang tersebut.

Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.

1. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).
2. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik f berada di bawah semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).

Untuk menemukan selang buka di mana suatu grafik fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah, kita harus menemukan selang di mana f ’ naik atau turun. Sebagai contoh, grafik

akan terbuka ke bawah pada selang buka (–∞, 0) karena

turun pada selang tersebut. Demikian pula, grafik f akan cekung ke atas pada selang (0, ∞) karena f ’ naik pada selang tersebut. Perhatikan gambar di bawah.

Teorema berikutnya menunjukkan bagaimana penggunaan turunan kedua suatu fungsi untuk menentukan selang di mana grafik f tersebut cekung ke atas atau cekung ke bawah. Bukti teorema ini merupakan akibat langsung dari Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, dan definisi kecekungan.

---

Teorema Uji Kecekungan

Misalkan f adalah suatu fungsi yang turunan keduanya ada pada selang buka I.

1. Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke atas pada I.
2. Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawah pada I.

---

Untuk menerapkan Teorema Uji Kecekungan, tentukan lokasi nilai-nilai x sedemikian sehingga f ”(x) = 0 atau f ” tidak ada. Gunakan nilai-nilai x tersebut untuk menentukan selang uji. Kemudian, ujilah tanda f ”(x) pada masing-masing selang uji.

TURUNAN GRAFIK DAN FUNGSI

Langkah dan Cara Menggambar Grafik Fungsi dengan Turunan

Salah satu aplikasi atau penggunaan turunan adalah untuk menggambar grafik sebuah fungsi. Adapun langkah menggambar grafik fungsi dengan menggunakan turunan ini sebagai berikut,

1. Tentukan titik Potong dengan sumbu x dan sumbu y. Cara menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y adalah dengan mengganti nilai x=0 dan y=0.
2. Tentukan titik stasioner beserta jenis titik stasioner tersebut, apakah minimum atau maksimum
3. Ambil beberapa nilai x untuk mendapatkan beberapa titik lainnya. Semakin banyak nilai x yang diambil maka grafik akan terlihat semakin mulus dan mudah untuk digambar.

 berikut contoh soal dan pembahasan menggambar grafik dengan menggunakan turunan ini,

#1. Gambarlah kurva

f(x)=3x2−x3$$f(x)=3x^2-x^3$$

Pembahasan:
Langkah 1. Tentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y.
Titik Potong sumbu x

y=0y=f(x)=3x2−x30=3x2−x33x2−x3=0x2(3−x)=0x=0∨x=3$$\begin{gathered} y=0 \\ y=f(x)=3x^2-x^3 \\ 0=3x^2-x^3 \\ 3x^2-x^3=0 \\ {x}^2(3-x)=0 \\ x=0\vee x=3 \end{gathered}$$

Titik Potong Sumbu x jadinya (0,0) dan (3,0).
Titik Potong sumbu y

x=0y=3x2−x3y=f(x)=3.03−2.03=0Titik Potong sumbu y (0,0)$$\begin{gathered} x=0 \\ y=3x^2-x^3 \\ y=f(x)={3.0}^3-{2.0}^3=0 \\ \text{Titik Potong sumbu y (0,0)} \end{gathered}$$

Langkah 2. Menentukan Nilai Stasioner

f(x)=3x2−x3f′(x)=6x−3x2f′′(x)=6−6x$$\begin{gathered} f(x)=3x^2-x^3 \\ {f}^{\mathrm{\prime }}(x)=6x-3x^2 \\ {f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6-6x \end{gathered}$$

. 
Stasioner adalah kondisi dimana, stasioner : f′(x)=0$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ 

f′(x)=06x−3x2=03x(2−x)=0x=0∨x=2f(0)=3.02−03=0, Titiknya (0,0)f(2)=3.22−23=4, titiknya (2,4) titik (0,0) minimum karena f(0) kecil dari f(2), artinya (2,4) titik maksimum.$$\begin{gathered} f^{\mathrm{\prime }}(x)=0 \\ 6x-3x^2=0 \\ 3x(2-x)=0 \\ x=0\vee x=2 \\ f(0)={3.0}^2-0^3=0,\text{ Titiknya (0,0)} \\ f(2)={3.2}^2-2^3=4,\text{ titiknya (2,4)} \\ \text{ titik (0,0) minimum karena f(0) kecil dari f(2), artinya (2,4) titik maksimum.} \end{gathered}$$

Langkah 3. Ambil beberapa nilai x,

y=3x2−x3x=−1→y=3(−1)2−(−1)3=4→(−1,4)x=1→y=3(1)2−(1)3=2→(1,2)$$\begin{gathered} y=3x^2-x^3 \\ x=-1\to y=3(-1{)}^2-(-1{)}^3=4\to (-1,4) \\ x=1\to y=3(1{)}^2-(1{)}^3=2\to (1,2) \end{gathered}$$

Sekarang hubungkan semua titik yang didapat, sehingga akan diperoleh gambar,


#2. Gambarkan grafik dari fungsi,

f(x)=y=x4−4x3$$f(x)=y=x^4-4x^3$$

. 
Silahkan Anda coba menghitung titik potong dengan sumbu x, sumbu y serta nilai stasioner. Pada hasil akhir akan di dapat:

1. titik potong dengan sumbu X adalah (0,0) dan (4,0). 
2. titik potong sumbu Y adalah (0,0).
3. titik stasionernya (0,0) (maksimun) dan (3,-27) Minimum. 

Gambar grafik fungsi di atas akan jadi,

sekian materi dari mengenai turunan grafik dan fungsi semoga bermanfaat terimakasih.